FACTORIZACION
Así como los números naturales pueden ser expresados como producto de dos o más números, los polinomios pueden ser expresadas como el producto de dos o más factores algebraicos.
El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso de multiplicar.
Factorizar, entonces, quiere decir identificar los factores comunes a todos los términos y agrupar
los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica.
los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica.
Así, factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original Así, factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original
En otras palabras, dada una expresión algebraica complicada, resulta útil, por lo general, el descomponerla en un producto de varios términos más sencillos.
RESOLVER:
RESOLVER:
Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica.
CASOS DE FACTORIZACION:
Factor Común monomio
Factor comun polinomio
Factor Común por agrupación de términos
Factorizacion de Binomios;
Diferencia de cuadrados:
Factorizacion de trinomios:
Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción:
Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción:
Caso I - Factor común
Sacar el factor común es extraer la parte ,literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.
Algunos ejemplos:
1) 2ab + 3cb - 3b = b(2a + 3c - 3)
2)ab + ac + ad = a ( b + c + d)
3)ax + bx + ay + by = (a + b )( x + y )
Factor común polinomio
Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente) para luego operar; ejemplo:
ab - bc = b(a-c)
Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:
Por ejemplo: En
1) 4xy + 8ay +2mx + 4am ,se puede sacar factor comun a cada grupo:
4y(x + 2a) + 2m(x+2a), por lo que , se obtiene:
4y+2m)(x+2a)
2) ab+ac+bd+dc = (ab+ac)+(bd+dc)
= a(b+c)+d(b+c)
= (a+d) (b+c)
Trinomio cuadrado perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos organizar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separandolos por el signos que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. Ejemplo:
Diferencia de cuadrados
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces.
Se conocen como diferencia de cuadrados, expresiones de este tipo :
X² - Y² = (X -Y )(X + Y)
Y esa es la manera de factorizarlas.
Veamos algunos ejemplos.
1) 4X² - 9Y² = (2x + 3y) (2x - 3y)
2) 25X² - 49Y² = (5x - 7y) (5x + 7y)
3) c² - 9Y² = (c + 3y) (c - 3y)
Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo, se usan como ayuda los casos número III y IV. para moldar debe de saber el coseno de la raíz de la suma de dos polimo x que multiplicado sale igual a la raíz de 2.
caso Trinomio de la forma x2 + bx + c
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis,en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados o restados den como resultado el término del medio.
CASOS DE FACTORIZACION:
Factor Común monomio
Factor comun polinomio
Factor Común por agrupación de términos
Factorizacion de Binomios;
Diferencia de cuadrados:
Factorizacion de trinomios:
Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción:
Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción:
Caso I - Factor común
Sacar el factor común es extraer la parte ,literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.
Algunos ejemplos:
1) 2ab + 3cb - 3b = b(2a + 3c - 3)
2)ab + ac + ad = a ( b + c + d)
3)ax + bx + ay + by = (a + b )( x + y )
Factor común polinomio
Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente) para luego operar; ejemplo:
ab - bc = b(a-c)
Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:
Por ejemplo: En
1) 4xy + 8ay +2mx + 4am ,se puede sacar factor comun a cada grupo:
4y(x + 2a) + 2m(x+2a), por lo que , se obtiene:
4y+2m)(x+2a)
2) ab+ac+bd+dc = (ab+ac)+(bd+dc)
= a(b+c)+d(b+c)
= (a+d) (b+c)
Trinomio cuadrado perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos organizar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separandolos por el signos que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. Ejemplo:
Diferencia de cuadrados
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces.
Se conocen como diferencia de cuadrados, expresiones de este tipo :
X² - Y² = (X -Y )(X + Y)
Y esa es la manera de factorizarlas.
Veamos algunos ejemplos.
1) 4X² - 9Y² = (2x + 3y) (2x - 3y)
2) 25X² - 49Y² = (5x - 7y) (5x + 7y)
3) c² - 9Y² = (c + 3y) (c - 3y)
Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo, se usan como ayuda los casos número III y IV. para moldar debe de saber el coseno de la raíz de la suma de dos polimo x que multiplicado sale igual a la raíz de 2.
caso Trinomio de la forma x2 + bx + c
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis,en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados o restados den como resultado el término del medio.
Factorizaciòn de un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP)
Por adición o sustracción.
Veamos un ejemplo
Factorizar a4+ a²
Extraemos raíz cuadrada al primero y tercer termino de lo que quedaría
(a² +1 )² pero si desarrollamos nos queda a4 +2a² +1 de lo que notamos que nos sobra 1 a².
Para nivelar la igualdad restamos a² a nuestra expresión .Entonces :
a4+ a² +1 =(a ²+1²- a²=(a²+1+a)(a²+1-a) Respuesta
a4+ a² +1 =(a ²+1²- a²=(a²+1+a)(a²+1-a) Respuesta
De manera semejante se resuelven estos ejercicios :
Factorizar 49m4- 151 m² n4+81 n8 =
Aplicamos el paso uno extraer raíz cuadrada al primero y tercer termino
( 7m² - 9 n4)² = 49 m4-126 m²n4 + 81 n8 Faltan -25m2n4
( 7m² - 9 n4)² - 25m²n4= ( 7m² - 9 n4+ 5mn² ) ( 7m² - 9 n4- 5mn² ) Respuesta
Factorizar a4- 16 a² b²+36 b4 =
( a² - 6 b²)² = a4-12 a²b² + 36 b4x²y² Faltan -4a²b²x²y²
( a² - 6 b²)² - 4a²b² = (a² - 6 b² -2ab) (a² - 6 b² +2ab) Respuesta
Factorizar x4+ 2x² y²+y4
Realizando operaciònes
( x² - y²)² = x4-2x²y² + 4 Faltan -4x²y²
( x²- y²)²-4x²y² = (x²- y²+2xy )(x²-y²+2xy ) Respuesta
Otro ejemplo, 2x3 + 8x2y se puede factorizar, o reescribir, como 2x2(x + 4y).
Trinomio cuadrado perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos organizar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separandolos por el signos que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado
EJERCICIOS
FACTORIZAR UTILILIZANDO EL METODO QUE CONSIDERES ADECUADO, SEGUN LOS CASOS ESTUDIADOS;
1) 6x - 12 =
2 )4x - 8y =
3)24a - 12ab =
4) 10x - 15x2 =
5) 14m2n + 7mn =
6) 4m2 -20 am =
7) 8a3 - 6a2 =
8) ax + bx + cx =
9) bX4-bY3 =
10) 4a3bx - 4bx =
11)14a - 21b + 35 =
12) 3ab + 6ac - 9ad =
13) 20x - 12xy + 4xz =
14) 6x4 - 30x3 + 2x2 =
15) 10x2y - 15xy2 + 25xy =
16)12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =
17) 2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 =
18)10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =
19) m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =
20) a(x + 1) + b ( x + 1 ) =
21) m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =
22) x2( p + q ) + y2( p + q ) =
23) ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =
24) ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) =
25) a(2 + x ) - ( 2 + x ) =
26) (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =
27) (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =
28)(a( a + b ) - b ( a + b ) =
29) (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =
2 )4x - 8y =
3)24a - 12ab =
4) 10x - 15x2 =
5) 14m2n + 7mn =
6) 4m2 -20 am =
7) 8a3 - 6a2 =
8) ax + bx + cx =
9) bX4-bY3 =
10) 4a3bx - 4bx =
11)14a - 21b + 35 =
12) 3ab + 6ac - 9ad =
13) 20x - 12xy + 4xz =
14) 6x4 - 30x3 + 2x2 =
15) 10x2y - 15xy2 + 25xy =
16)12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =
17) 2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 =
18)10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =
19) m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =
20) a(x + 1) + b ( x + 1 ) =
21) m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =
22) x2( p + q ) + y2( p + q ) =
23) ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =
24) ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) =
25) a(2 + x ) - ( 2 + x ) =
26) (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =
27) (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =
28)(a( a + b ) - b ( a + b ) =
29) (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =
30) a2 + ab + ax + bx =
31) ab + 3a + 2b + 6 =
32) ab - 2a - 5b + 10 =
33) 2ab + 2a - b - 1 =
34) am - bm + an - bn =
35) 3x3 - 9ax2 - x + 3a =
36) 3x2 - 3bx + xy - by =
37) 6ab + 4a - 15b - 10 =
38) 3a - b2 + 2b2x - 6ax =
39) a3 + a2 + a + 1 =
40) ac - a - bc + b + c2 - c =
12. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =
13. ax - ay - bx + by - cx + cy =
14. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =
15. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =
RESOLVER:
1. x2 + 4x + 3 =
2. b2 + 8b + 15 =
3. r2 - 12r + 27 =
4. h2 - 27h + 50 =
5. x2 + 14xy + 24y2 =
6. x2 + 5x + 4 =
RESOLVER:
1. a2 + 7a + 10 =
2. x2 - x - 2 =
3. s2 - 14s + 33 =
4. y2 - 3y - 4 =
5. m2 + 19m + 48 =
6. x2 - 12x + 35 =
RESOLVER:
1. 5x2 + 11x + 2 =
2. 4x2 + 7x +
3. 5 + 7b + 2b2 =
4. 5c2 + 11cd + 2d2 =
5. 6x2 + 7x - 5 =
6. 3m2 - 7m - 20 =
7. 5x2 + 3xy - 2y2 =
8. 6a2 - 5a - 21 =
9. 2a2 - 13a + 15 =
RESOLVER:
1. 3a2 + 10ab + 7b2 =
2. 4h2 + 5h + 1 =
3. 7x2 - 15x + 2 =
4. 2x2 + 5x - 12 =
5. 6a2 + 23ab - 4b2 =
6. 8x2 - 14x + 3 =
7. 7p2 + 13p - 2 =
8. 2x2 - 17xy + 15y2 =
RESOLVER:
1. 9a2 - 25b2 =
2. 4x2 - 1 =
3. 36m2n2 - 25 =
4. 169m2 - 196 n2 =
6. 3x2 - 12 =
7. 8y2 - 18 =
8. 45m3n - 20mn =
RESOLVER:
1. 16x2 - 100 =
2. 9p2 - 40q2 =
3. 49x2 - 64t2 =
4. 121 x2 - 144 k2
6. 5 - 180f2 =
7. 3x2 - 75y2 =
8. 2a5 - 162 a3 =
RESOLVER:
1. b2 - 12b + 36 =
2. m2 - 2m + 1 =
3. 16m2 - 40mn + 25n2 =
4. 36x2 - 84xy + 49y2 =
5. 1 + 6ª + 9a2 =
6. 25a2c2 + 20acd + 4d2 =
7. 16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =
RESOLVER:
1. 2ab + 4a2b - 6ab2 =
2. b2 - 3b - 28 =
3. 5a + 25ab =
4. 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab =
5. 8x2 - 128 =
6. x4 - y2 =
7. (a + b )2 - ( c + d)2 =
8. 36m2 - 12mn + n2 =
RESOLVER:
1. 2xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =
2. a2 + 6a + 8 =
3. bx - ab + x2 - ax =
4. ax + ay + x + y =
5. 4 - 12y + 9y2 =
6. x2 + 2x + 1 - y2 =
7. a2 + 12ab + 36b2 =
8. x16 - y16 =
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